§3А. МОДЕЛИ ARCH И GARCH

1. ПУСТЬ (Г2,9, Р) - ИСХОДНОЕВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО, Є = (ЄП)П^І - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ЄП ~ ^(0,1), МОДЕЛИРУЮЩИХ "СЛУЧАЙНОСТЬ", "НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ" В РАССМАТРИВАЕМЫХ ДАЛЕЕ МОДЕЛЯХ.
ЧЕРЕЗ &П ОБОЗНАЧАЕМ TF-АЛГЕБРЫ О(Е\\,..., Е„), — {0, FI}.
БУДЕМ ИНТЕРПРЕТИРОВАТЬ SN \' SN(U) КАК ЗНАЧЕНИЕ ПЕНЫ (СКАЖЕМ, АКЦИИ, ОБМЕННОГО КУРСА) В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ П = 0,1,...

. ВРЕМЯ МОЖЕТ ИЗМЕРЯТЬСЯ В ГОДАХ, МЕСЯЦАХ, ..., МИНУТАХ, СЕКУНДАХ,....
КАК УЖЕ ОТМЕЧАЛОСЬ ВЫШЕ (§LD), ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ВЕЛИЧИН H = {HN)N^I, ГДЕ
HN = (1)
ОП_1
Р. ЭНГЛЬ, [140], ОБРАТИЛСЯ К УСЛОВНО-ГАУССОВСКОЙ МОДЕЛИ, В КОТОРОЙ
HN — <7„ЄП, ^ (2)
ГДЕ "ВОЛАТИЛЬНОСТИ" ОП ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
Р
О\\ = «О + (3)
»=І
С АО > 0, AI > 0, HO = FT0(AJ) - СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, НЕ ЗАВИСЯЩАЯ ОТ Є = (Єті)ті^і- (ЧАСТО HO СЧИТАЕТСЯ КОНСТАНТОЙ ИЛИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ КВАДРАТА КОТОРОЙ ВЫБИРАЕТСЯ ИЗ СООБРАЖЕНИЙ "СТАЦИОНАРНОСТИ" ЗНАЧЕНИЙ ЕЛ2, П > 0.)
ИЗ (3) ВИДИМ, ЧТО ВОЛАТИЛЬНОСТИ АП ЯВЛЯЮТСЯ (ПРЕДСКАЗУЕМЫМИ) ФУНК-ЦИЯМИ ОТ ..., H\\_P. ПРИ ЭТОМ ЯСНО, ЧТО БОЛЬШИЕ (МАЛЫЕ) ЗНАЧЕНИЯ HL-I ПРИВОДЯТ К БОЛЬШИМ (МАЛЫМ) ЗНАЧЕНИЯМ А2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЖЕ БОЛЬШИХ /І2 В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО ПРЕДШЕСТВУЮЩИЕ Л2 ..., /Г2 _Р БЫЛИ МАЛЫМИ, ПРОИСХОДИТ ЗА СЧЕТ ПОЯВЛЕНИЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ?„. ТАКИМ ОБРАЗОМ, СТАНОВИТСЯ ПОНЯТНЫМ, ПОЧЕМУ РАССМАТРИВАЕМЫЕ (НЕЛИНЕЙНЫЕ) МОДЕЛИ (1)—(3) МОГУТ ОБЪЯСНЯТЬ ЭФФЕКТЫ ТИПА "КЛАСТЕРНОСТИ" Т.Е. ГРУППИРОВАНИЯ ЗНАЧЕНИЙ (HN) В ПАЧКИ "БОЛЬШИХ" И ПАЧКИ "МАЛЫХ" ЗНАЧЕНИЙ.
ЭТИ РАССМОТРЕНИЯ ОПРАВДЫВАЮТ, КАК УЖЕ ГОВОРИЛОСЬ ВЫШЕ (§ ID), ДАННОЕ Р. ЭНГЛЕМВ [140] НАЗВАНИЕ ARCH(P) ДЛЯ ЭТОЙ МОДЕЛИ (AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSKEDASTIC MODEL - АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ УСЛОВНОЙ. НЕОДНОРОДНОСТИ), В КОТОРОЙ, КАК МЫ ВИДИМ, УСЛОВНАЯ ДИСПЕРСИЯ (ВО- ЛАТИЛЬНОСТЬ) <Т2 ВЕДЕТ СЕБЯ ВЕСЬМА НЕОДНОРОДНЫМ ОБРАЗОМ, ПОСКОЛЬКУ ЗАВИСИТ, СОГЛАСНО (3), ОТ "ПРОШЛЫХ" ЗНАЧЕНИЙ /Г2 /Г2 _2,...

.
2. ОБРАТИМСЯ К РАССМОТРЕНИЮ РЯДА СВОЙСТВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H = {H П)ТІ^І) ОПИСЫВАЕМОЙ ARCH (Р)-МОДЕЛЬЮ, ОГРАНИЧИВШИСЬ, ДЛЯ ПРОС-ТОТЫ ИЗЛОЖЕНИЯ, СЛУЧАЕМ Р = 1. (ПО ПОВОДУ ПОДРОБНОГО ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ¦АДС#(Р)-МОДЕЛЕЙИИХ ПРИМЕНЕНИЙ СМ., НАПРИМЕР, [193], [202] И [393]; В П. 6, § ЗС, ПРИВЕДЕН РЕЗУЛЬТАТ О НАЛИЧИИ "ТЯЖЕЛЫХ ХВОСТОВ" В ТАКИХ МОДЕЛЯХ.)
ДЛЯР = 1 (СМ. РИС. 22)
А2П =А0 + А1/Г2_1, (4)
И ЯСНО, ЧТО ДЛЯ HN = АПЄП ИМЕЕМ СЛЕДУЮЩИЕ ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА:
Е HN = 0, (5)
ЕЛ2 =А0+А1ЕЛ2_1, (6)
Е(Л2 19П_Г) = OL=AО + АФ2П(7)
В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ
< АІ < 1
РЕКУРРЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ (6) ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ "СТАЦИОНАРНОЕ" РЕШЕНИЕ
ЕH2N = -^-, 0, (8)
— AI
И, ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЕСЛИ ВЗЯТЬ = ^ А°—, ТО ЕЛ2 ДЛЯ ВСЕХ N > 1 БУДЕТ ВЫРАЖАТЬСЯ ФОРМУЛОЙ (8). 011

-3 _____
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
РИС. 22. ГРАФИК КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ H - (HN),
ПОДЧИНЯЮЩЕЙСЯ ARCH (1) -МОДБЛИ С TIN = V"0 + OTITIC-1 ЄП С ПАРАМЕТРАМИ АО = 0.9, АІ = 0.2; H0 = ЗИО ^ П ^ 100
-1 -2
ДАЛЕЕ, ПРОСТОЙ ПОДСЧЕТ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
ЕЛ* = Е4 Е4 = ЗЕ4 = ЗЕ(АО +ALH2N_1F
= 3(АД + 2АОО!ІЕЛ2_1 + A?E/I*_I)
(9)
3AG(L + AI)
1 — AI
ОТСЮДА, В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ 0 < C*I < 1 И ЪА\\ < 1, НАХОДИМ "СТАЦИОНАРНОЕ" РЕШЕНИЕ (ЕЛ* = CONST):
Е HI =
(10)
3A2(L + AI) (1 - AI)(L - ЗА2)
ИЗ (8) И (10) СЛЕДУЕТ, ЧТО "СТАЦИОНАРНОЕ" ЗНАЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЭКСЦЕССА (KURTOSIS\'A)
Е H* „ 6А?
3 =
К =
(Е HLF
1 - ЗА2 \'
ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ КОТОРОГО ГОВОРИТ О ТОМ, ЧТО ПЛОТНОСТЬ "УСТАНОВИВШЕГОСЯ" РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН (HN) В ОКРЕСТНОСТИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ "ВЫТЯНУТА" ВВЕРХ (ТЕМ СИЛЬНЕЕ, ЧЕМ БОЛЬШЕ А2). НАПОМНИМ, ЧТО ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСЦЕСС К — 0.
ЗАМЕЧАНИЕ. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ К^ КОЭФФИЦИЕНТА ЭКСЦЕССА, ПОД-СЧИТЫВАЕМОЕ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ЛІ, H2,. ¦ ¦, H JV, НАХОДИТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
**=^ Х>*-Х>* - 2 - - FC=L \' ^ FE=L \'
ГДЕ HN — — (ЛІ Н + /ГДГ). СОГЛАСНО ДАННЫМ, ПРИВЕДЕННЫМ В КНИГЕ
С.

ТЕЙЛОРА [460], ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ЭКСЦЕССА ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ ИНДЕКСОВ ЯВЛЯЕТСЯ СКОРЕЕ ПРАВИЛОМ, ЧЕМ ИСКЛЮЧЕНИЕМ. СЛУЧАИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКСЦЕССА НА ПРАКТИКЕ ОЧЕНЬ РЕДКИ. О ВЕЛИЧИНАХ ЖЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО КОЭФФИЦИЕНТА ЭКСЦЕССА К^ В СЛУЧАЯХ ЕГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ МОЖНО СУДИТЬ ПО СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ, ОТНОСЯЩЕЙСЯ К ПЕНАМ НА ЗОЛОТО (XAU) И СЕРЕБРО (XAG), ОБМЕННОМУ КУРСУ БРИТАНСКОГО ФУНТА ПО ОТНОШЕНИЮ К ДОЛЛАРУ (USD) И СТОИМОСТИ АКЦИЙ КОМПАНИИ GENERAL MOTORS (ПО МЕСЯЧНЫМ ДАННЫМ):
ТАБЛИЦА 1\r\nXAU/USD 1975-82 ГГ. KN = 8.4\r\nXAG/USD 1970-74 ГГ. Kn = 8A\r\nGBP/USD 1974-82 ГГ. KN = 5.4\r\nGeneral Motors 1966-76 гг. KN =4.2\r\n
ПРОСТОЙ ПОДСЧЕТ ДАЕТ
(И)
И, ЗНАЧИТ,
Р 1 = CORR = —===== = AI.
Y/DHL
ДАЛЕЕ, ДЛЯ К < П
EH2NHL_K = Е[HL_K Е(Л» | #,_!)] = ?{HL_KE{ALEL \\$N-IJ\\
= E[HL-K(AO = <*OE/I2_FC +AIE/I2_1/I2_FC,
ЧТО ДАЕТ В "СТАЦИОНАРНОМ" СЛУЧАЕ ПРОСТОЕ РЕКУРРЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ
P(FC) = AIP(FC - 1),
ОТКУДА
РІК) = A*. (13)
4. В § ID ОТМЕЧАЛОСЬ, ЧТО АИСН(Р)-МОДЕЛИ САМЫМ ТЕСНЫМ ОБРАЗОМ СВЯЗАНЫ С (ОБЩИМИ) АВТОРЕГРЕССИОННЫМИ СХЕМАМИ AR(P). ДЕЙСТВИТЕЛЬНО, ПУСТЬ ИМЕЕТСЯ АЛС#(Р)-МОДЕЛЬ ИІ/„ =
HI-А2. ТОГДА,
ЕСЛИ ЕHI < ОО, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И = (ИП) ОБРАЗУЕТ (ОТНОСИТЕЛЬНО ПОТОКА {9П)) МАРТИНГАЛ-РАЗНОСТЬ, И ИЗ (3) СЛЕДУЕТ, ЧТО ВЕЛИЧИНЫ ХП = HI УДОВЛЕТВОРЯЮТ АВТОРЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ AR(P):
ХП = О!0 + OCIXN-1 Н АРХ„-Р + 1/П, (14)
С "ШУМОМ" И = (ИП): ЯВЛЯЮЩИМСЯ МАРТИНГАЛ-РАЗНОСТЬЮ. В СЛУЧАЕ Р = 1
ХП =A0+A1XN-I + ISN (15)
И ВИДИМ, ЧТО НАЙДЕННАЯ ВЫШЕ ФОРМУЛА (13) В ТОЧНОСТИ СОВПАДАЕТ С ФОРМУ-ЛОЙ (10) ИЗ § 2Ь.
5. ARCH (Р)-МОДЕЛИ САМЫМ ТЕСНЫМ ОБРАЗОМ СВЯЗАНЫ ТАКЖЕ С АВТОРЕ-ГРЕССИОННЫМИ МОДЕЛЯМИ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, КОТОРЫЕ ИС-ПОЛЬЗУЮТСЯ ПРИ ОПИСАНИИ "СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ\'! ДЛЯ ПОЯСНЕНИЯ СУТИ ДЕЛА СНОВА ОГРАНИЧИМСЯ ЗНАЧЕНИЕМ Р — 1. ТОГДА ИЗ ТОГО, ЧТО HN = СГПЄП И СТ2 = АР + А^А2 ВЫТЕКАЕТ, ЧТО
HN = \\JA0 + AI/I2 Є„. (16)
РАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ СЛЕДУЮЩУЮ АВТОРЕГРЕССИОННУЮ МОДЕЛЬ ПЕРВОГО ПО-РЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ:
ХП = В 1Т}ПХ ТІ — 1 + В05 NV (17)
ГДЕ (Г)П) И (6П) - ДВЕ НЕЗАВИСИМЫЕ СТАНДАРТНЫЕ ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-НОСТИ.
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Х = (I„) С xq = 0 (ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ) УСТРОЕНА ТАК ЖЕ, КАК И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Х — (ХП) С
ХП = ВІ + ВІХІ_ГЄП, Х0=0, (18)
ГДЕ Є = (Є„) - СТАНДАРТНАЯ ГАУССОВСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
СОПОСТАВЛЕНИЕ (16) И (18) ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО СТРУКТУРА ОБРАЗОВАНИЯ ПО-СЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ A = (HN) ИХ— {ХП) ОДНА И ТА ЖЕ.

СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПРИ В2 = АО и BF = АІ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ A = (А„) И Х = (ХП) С HO = ХО = 0 ОДНИ И ТЕ ЖЕ.
6. НЕСКОЛЬКО УСЛОЖНИМ МОДЕЛЬ ARCH(L), ПРЕДПОЛАГАЯ, ЧТО ВЕЛИЧИНЫ А = (HN) УПРАВЛЯЮТСЯ СООТНОШЕНИЯМИ
А» =А>+/?І/ГП_І + І/АО+О;І/І2_1ЄП. (19)
В ЭТОМ СЛУЧАЕ ГОВОРЯТ, ЧТО H — (HN) ПОДЧИНЯЕТСЯ AR(L)/ARCH(1)-МО- ДЕЛИ ИЛИ ЧТО H = (HN) УДОВЛЕТВОРЯЕТ АВТОРЕГРЕССИОННОЙ СХЕМЕ ЛЛ(1) С ARCH(І)-ШУМОМ (Л/А0 + АІА2_Г ЄП)П>1-
УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЙ ХАРАКТЕР ЭТОЙ МОДЕЛИ ДАЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ ПРЕД-СТАВИТЬ ПЛОТНОСТЬ PE{HI,..., HN) СОВМЕСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РД ВЕЛИЧИН
HI,... ,HN ДЛЯ ЗАДАННОГО ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА В = (АО, СЦ, /ЗО, PI) В СЛЕДУ-ЮЩЕМ ВИДЕ (HO = 0):
PE{HI, ...,HN) = (2*-)-"/2 П (А0 + AIHL^Y1\'2
FE=І
Г L^(HK-0O-/3IHK-I)2\\ XPL~2G АО +AIHU J" ™
В КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РАССМОТРИМ ЗА-ДАЧУ ОЦЕНИВАНИЯ (МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ) НЕИЗВЕСТНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА PI, СЧИТАЯ ОСТАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ /ЗО, А О И АІ ИЗВЕСТНЫМИ.
ОПЕНКА (ЗІ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ ПАРАМЕТРА /ЗІ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КАК КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
DP{AO\'"1/°M(HI,...,HN) = 0. АРІ
С УЧЕТОМ (20) И (19) НАХОДИМ, ЧТО
? (FEFC ~/3O)FEFC-I
Я - FC=I + (2 )
01" ? P1)
FE=I AO + AI/Г|_! ~ /VF
И
ГДЕ
(M)N \' HK-ІЄК
ЕСТЬ МАРТИНГАЛ, А
VAO + AI
(23)
E „
^ A0 + AI/»IT_I
- ЕГО КВАДРАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. (СР. С ФОРМУЛОЙ (46) В § 2Ь.)
ЗДЕСЬ {М)П —> ОО (Р-п.н.)- И, СОГЛАСНО УСИЛЕННОМУ ЗАКОНУ БОЛЬШИХ
ЧИСЕЛ ДЛЯ КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ МАРТИНГАЛОВ [439; ГЛ. VII, §5], МП ~
-—^ > 0 (Р-П.Н.). СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПОСТРОЕННЫЕ ОЦЕНКИ /ЗІ ЯВЛЯЮТСЯ
СИЛЬНО СОСТОЯТЕЛЬНЫМИ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО РЕ(/ЗІ —> 0) = 1 ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ 0 = (АО,АІ,/ЗО,/ЗІ),ГДЕ/ЗЄМ.
7. РАССМОТРИМ ВОПРОС О ПРЕДСКАЗАНИИ "БУДУЩЕГО ДВИЖЕНИЯ ПЕН" СЧИТАЯ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ПОДЧИНЯЕТСЯ МОДЕЛИ ARCH(P).
ПОСКОЛЬКУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ H = (HN) ЯВЛЯЕТСЯ МАРТИНГАЛ-РАЗНОСТЬЮ, ТО E(/IN+RN | З\'П) = 0 И, ЗНАЧИТ, ОПТИМАЛЬНАЯ В СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ОПЕНКА
HN+M = Е(HN+M I = Е(Е(Л„+Т 19П) I = 0.
ТРИВИАЛЬНОСТЬ ЭТОЙ ОПЕНКИ ДЕЛАЕТ ЦЕЛЕСООБРАЗНЫМ РАССМОТРЕНИЕ ВОПРОСА О ПРЕДСКАЗАНИИ БУДУЩИХ ЗНАЧЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ /IN_J_M, НАПРИ-МЕР, ВЕЛИЧИН Ї^П+Т І |Л|»+Т|- ИМЕЕМ = А(ЛІ,..., Л„)):
CI S Е(Л2+Т | = Е(*2П+ТЕ2П+Т | = Е[Е(°"П+ТЄП+Т | З^П+RN-L) I = Е[А2П+Т\\^\\ (24)
ОТКУДА ЯСНО, ЧТО ВОПРОС ПРЕДСКАЗАНИЯ БУДУЩИХ ЗНАЧЕНИЙ Л2 +ТП СВОДИТСЯ К ВОПРОСУ ПРЕДСКАЗАНИЯ "ВОЛАТИЛЬНОСТИ" СГ2 ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПРОШЛЫХ НАБЛЮДЕНИЙ HO, HI,...

,HN- ПОСКОЛЬКУ
°П+Т = "0 + AI<7N+M-LEN+M-L>
ТО ПО ИНДУКЦИИ НАХОДИМ, ЧТО
^N+M = "0 + «І[АО + ALCTN+M-2EN+M-2]4+M-L = • • • = RN—L J M
= <*0 + А0 ]Г П ALEN+J-I+L + П AL?N+M-I- J=1 T=L I=L
ОТСЮДА, БЕРЯ УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Е( • | З\'П) И УЧИТЫВАЯ НЕ-ЗАВИСИМОСТЬ В ВЕЛИЧИНАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (Є„), НАХОДИМ, ЧТО
M —1
HI+Т = = Ц°2П+Т I = «О + А0 Е «І + HK
3=1
1 Г,Т
= А O—^+ATHL (25)
1 — 0!1
КАК И СЛЕДОВАЛО ОЖИДАТЬ, ПРИ M —> ОО ОЦЕНКИ H\\+M СХОДЯТСЯ (С ВЕРО-ЯТНОСТЬЮ ЕДИНИЦА) К "СТАЦИОНАРНОМУ" ЗНАЧЕНИЮ ЕЛ2 = -J—~^—
«І
8. НАПОМНИМ, ЧТО ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ J((Р., А2) ИНТЕРВАЛЫ (Р — А, Р + <Т) И (Р — 1.65СГ, /І + 1.65TR) ЯВЛЯЮТСЯ (С ОПРЕДЕЛЕННОЙ СТЕПЕ-НЬЮ ТОЧНОСТИ) ДОВЕРИТЕЛЬНЫМИ ИНТЕРВАЛАМИ С УРОВНЯМИ НАДЕЖНОСТИ 68 % И 90 % СООТВЕТСТВЕННО. ПОСКОЛЬКУ
S„+M = SNEH^+-+H»+™ (26)
И
E[(AN+I + • • ¦ + HN+M)2 | = Е(Л*+11 +... + Е(Л»+Т J PB)
= <7І+1 + • ¦ ¦ + ^N+M.
ТОВ ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В КАЧЕСТВЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ (С УРОВ-НЯМИ ЗНАЧИМОСТИ 68 % И 90 %) МОЖНО ВЗЯТЬ ИНТЕРВАЛЫ
И
СООТВЕТСТВЕННО.
ДОЛЖНО БЫТЬ ПРИ ЭТОМ ПОНЯТНО, ЧТО СЛОВА "В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ" СВЯЗАНЫ С ТЕМ, ЧТО НА САМОМ ДЕЛЕ ВЕЛИЧИНЫ HK НЕ ЯВЛЯЮТСЯ, ВООБЩЕ ГОВОРЯ, НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ, И ВОПРОС О ТОМ, НАСКОЛЬКО ИСТИННЫЕ УРОВНИ НАДЕЖНОСТИ ПРИВЕДЕННЫХ ВЫШЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ОТЛИЧАЮТСЯ ОТ 68 % И 90 %, ТРЕБУЕТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ.
9. УСПЕХ УСЛОВНО-ГАУССОВСКОЙ МОДЕЛИ ARCH(P), ДАВШЕЙ ОБЪЯСНЕНИЕ ЦЕЛОМУ РЯДУ ФЕНОМЕНОВ В ПОВЕДЕНИИ ФИНАНСОВЫХ ИНДЕКСОВ ("КЛАСТЕР- НОСТЬ" "ТЯЖЕЛЫЕ ХВОСТЫ" "ВЫТЯНУТОЕТЬ" ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИ-ЧИН HN,...), ПОРОДИЛА ПЕЛУЮ ЛАВИНУ РАЗЛИЧНЫХ ЕЕ ОБОБЩЕНИЙ, ПРЕСЛЕДУЮ-ЩИХ ПЕЛЬ "УХВАТИТЬ", ДАТЬ ВОЗМОЖНЫЕ ОБЪЯСНЕНИЯ РЯДА ДРУГИХ ЭФФЕКТОВ, ОБНАРУЖИВАЕМЫХ МЕТОДАМИ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ИСТОРИЧЕСКИ ОДНИМ ИЗ ПЕРВЫХ ОБОБЩЕНИЙ МОДЕЛИ ARCH(P) ЯВИЛАСЬ, КАК УЖЕ ОТМЕЧАЛОСЬ В § ID, ВВЕДЕННАЯ В 1986 Г.

Т. БОЛЛЕРСЛЕВОМ (Т. BOLLER- SLEV, [48]) ОБОБЩЕННАЯ (GENERALIZED) ARCH-МОДЕЛЬ, ХАРАКТЕРИЗУЕМАЯ ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИР ИДИ ОБОЗНАЧАЕМАЯ GARCH(Р, Q).
В ЭТОЙ МОДЕЛИ, КАК И ДЛЯ ARСН(Р)-МОДЕЛИ, СНОВА БЕРЕТСЯ HN — СГПЄП, НО ОТНОСИТЕЛЬНО ФОРМИРОВАНИЯ "ВОЛАТИЛЬНОСТИ" ЕГП ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО
Р Я
= «О + Е °4HL-I + ? (27)
«=1 J=1
ГДЕ АГО > 0, AI ^ 0, /3J ^ 0. (ЕСЛИ ВСЕ /ЗУ = 0, ТО ПОЛУЧАЕМ МО-ДЕЛЬ ARCH(P).)
ОСНОВНЫМ ПРЕИМУЩЕСТВОМ GARCH(P, АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ GARCH(P,Q), В КОТОРЫХ "ВОЛАТИЛЬНОСТЬ" ЕГ„ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ЗАВИСЯЩЕЙ (ПРЕДСКАЗУЕМЫМ ОБРАЗОМ) КАК ОТ Л2 _ І ^ Р, ТАК И ОТ
-JI І ^ ПРОВОДИТСЯ АНАЛОГИЧНО АНАЛИЗУ ARСН(Р)-МОДЕЛЕЙ.
ОПУСКАЯ ДЕТАЛИ, ПРИВЕДЕМ РЯД ПРОСТЫХ ФОРМУЛ, ОТНОСЯЩИХСЯ К МОДЕЛИ GARCH( 1,1):
/І„=ЕГПЄ„, CR2 = OR0 + AIHN + PICTN-1, (28)
ГДЕ AO > 0, ARI ^ 0, /ЗІ ^ 0. ОТСЮДА ЯСНО, ЧТО
BH2N = AO + («І + /ЗІ)Е/І2_І
И "СТАЦИОНАРНОЕ" ЗНАЧЕНИЕ ЕЛ2 СУЩЕСТВУЕТ ПРИ АЛ + /ЗІ < 1 И ЗАДАЕТСЯ ФОРМУЛОЙ
ZHL = А° . (29)
1 - «І - PI
ЕСЛИ ЗА2 -І- 2А\\(3\\ + /З2 < 1, ТО СУЩЕСТВУЕТ "СТАЦИОНАРНОЕ" ЗНАЧЕНИЕ
р, 4 = 3ORG(L+OG + /3I)
- (1 - «І - /30(1 - /З2 - 2АІ/3І - ЗА?) W
И, ТЕМ САМЫМ, "СТАЦИОНАРНЫЙ" КОЭФФИЦИЕНТ ЭКСЦЕССА К- О 6AF
НЕТРУДНО НАЙТИ И "СТАЦИОНАРНОЕ" ЗНАЧЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНК-ЦИИ Р(К) (СР. С (13)):
ORIQ-ORIA-^) Р(1)= L-2AI/3I-/3? \' (32)
P(FC) = (AI+/3I)FC-1P(L), *>1. (33)
НАКОНЕЦ, ОТМЕТИМ, ЧТО ФОРМУЛА (25) НА СЛУЧАЙ GARCH(1,1)-МОДЕЛИ ОБОБЩАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
- J M
H2N+M = <+Т = 1= «О-УГ^Г + 7Т-1(«ІЛ2„ +
ГДЕ 7 = AT + PI.
10. МОДЕЛИ СЕМЕЙСТВА ARCH, ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИЕ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕ-МЕНИ, ИМЕЮТ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ АНАЛОГИ И В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ. БОЛЕЕ ТОГО, ПРИ ПОДХОДЯЩЕЙ НОРМИРОВКЕ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ (СЛАБУЮ) СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ARCH, GARCH,... -МОДЕЛИ, К РЕШЕНИЯМ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СТОХАСТИЧЕС-КИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ РАССМОТРИМ СЛЕДУЮЩУЮ МОДИФИКАЦИЮ GARCH(1,1)-МОДЕЛИ (НАЗЫВАЕМУЮВ [15] GARCH(1,1)-М-МОДЕЛЬЮ). ПУСТЬ Д - ВРЕМЕННОЙ ШАГ, = (Н^), К = 0,1,..., ГДЕ
Я^ = Я<А> + ЛД<*>+ ...+*?>,
Ь?>=С№)*+ (34)
ПРИЧЕМ ЄКА ~ Д), С - КОНСТАНТА И
І^)2 =«О(Д) + (^1)Л)2(/3(А)+«1(Д)^_І)Д). (35)
БУДЕМ СЧИТАТЬ, ЧТО ЗАДАНЫ НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ Н^ = НО, 0, ГДЕ (HQ, АО) ~ ПАРА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, НЕ ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ГАУССОВСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ (ЄЬД), А > 0, СОСТОЯЩИХ ИЗ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
ВЛОЖИМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ (Я(А\\СГ(А)) = {^КА >АК&)К>О В СХЕМУ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ T > 0, ПОЛАГАЯ
Я<(А)=Я&\\ = (36)
ПРИKA^T < (К + 1)Д.
ИЗ ОБЩИХ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРИИ СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (СМ., НАПРИМЕР, [250], [304]) ЕСТЕСТВЕННО ОЖИДАТЬ, ЧТО ПРИ НЕКОТОРЫХ УСЛО-ВИЯХ НА ВХОДЯЩИЕ В (34), (35) КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРОЦЕССОВ А^) СЛАБО СХОДИТСЯ (В ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОХОДА) К НЕКОТОРОМУ ДИФФУЗИОННОМУ ПРОЦЕССУ (Я,ЕГ) = {HT,AT)T^O- КАК ПОКАЗЫВАЕТСЯ В [364], ПРИ
АО(Д) = А0А, АХ (Д) = А /3(Д) = 1 - А - /ЗД
ПРЕДЕЛЬНЫМ (ПРИ Д —» 0) ПРОЦЕССОМ (Я, А) ЯВЛЯЕТСЯ ПРОЦЕСС, ПОДЧИ-НЯЮЩИЙСЯ СЛЕДУЮЩИМ СТОХАСТИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (СМ. §3Е, ГЛ. III):
DHT = СО\\ DT + AT DWT(1), (37)
. DA\\ = («О - PAT) DT + AAF DW{2), (38)
ГДЕ (И^1), W^) - ДВА НЕЗАВИСИМЫХ СТАНДАРТНЫХ БРОУНОВСКИХ ДВИЖЕНИЯ, НЕЗАВИСИМЫХ ТАКЖЕ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ (ЯО,ЕГО) = (HQA\\ CTQA>).

<< | >>

↑

Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме §3А. МОДЕЛИ ARCH И GARCH:

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -